星教师丨柴苗（浙江省宁波市镇海区实验小学 数学教师）
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学生在三年级下借助人民币单位、长度单位等十进制计量单位初步认识小数，并进行简单小数加减法。
但是，“在米尺上找到1分米，是把1米平均分成10份，每份是米，是0.1米。”却让学生对小数的意义理解非常困难。
第一，这句话很长，学生表述时会丢三落四，如落下“平均分”；第二，内容繁多，学生要回顾1米=10分米，长度单位之间的进率。对分数意义的理解要准确，平均分的份数做分母，这样的几份做分子。
而对于没有整体学习分数内容的学生来说，理解分数意义是最大的难点。通过三年级的学习，学生在心目中没有真正接受小数这个新朋友，心中的数系仍然停留在整数。
既然学生对整数的认识已经根深蒂固，为何不借整数理解小数的位值制、读写法、比大小、求近似数呢？
人教版的编写是这样的思路：第二学段的小数学习通过理解小数的意义、小数的性质、小数点移动规律等把小数作为一个数概念去理性地认识，然后进行小数加减法的竖式计算、口算、简便运算。
但是学生最大的困惑在于：小数和整数的联系这么密切，为什么认识小数，要借助分数的意义？也就是小数的意义第一节课怎么突然说起了平均分的事，还一定要平均分成10份、100份、1000份？分成3份、9份，不是10的次方会怎么样呢？
学生对不能解决的问题总是有天然的执念。还有学习整数用到数数、计数器等，学习小数为什么突然给出正方形或正方体图，要被动地涂色、表示数？“丰富”的素材如洪水猛兽般一时间袭来，学生心中的疑问已经完全写在脸上：这几天我们在干嘛？
缺少主动操作和体验，没有自主建构和亲身经历，这样的学习只是走过场，学生难以接受“小数”这个新朋友，自然难以做到“心中有数”。
小数的意义和性质单元内容很多，但有几节课是种子课，如小数的意义、小数的性质、小数点移动引起小数大小变化的规律。其他都是发展课，其中小数的大小比较特别需要借助直观理解位值制。
因此我手握人教版教材，参考北师大版、苏教版教材中《小数的性质》《小数的大小比较》《小数加减法》三节课的编排，从单元整体编写思路分析学习内容、学习材料、学习目标三方面进行比较。
相似之处：
人教版和苏教版内容编排大致一致，苏教版对学生的思考过程更加展开。
不同之处：
北师大版教材更多地以学生为主体，展现丰富的数学素材，反馈学生作品，在理解数概念时特别有用；人教版教材有点“想当然”，探究过程很直白，更多呈现编者视角。
接下来我以第二学段中小数教学中的三个课例，谈谈横向对比教材后，借助几何直观丰富学生对数概念的理解。
第一节：《小数的性质》
设计任务，给出更大探索空间
学生在学习《小数的性质》之前，或通过课外提前学或凭借生活的朴素经验，模模糊糊地知道小数末尾的0去掉或添上大小可能是不变的，但对于为什么这样做，这样做之后到底小数的什么变了，什么不变，没有清晰、理性地认识。
在学习第一板块——小数的意义、数位顺序表、读写法后，作业中会出现：米尺、正方形图、计数器、数位顺序表等学材，以便帮助学生理解小数的产生、意义、位值制等。是不是可以把数画出来，用图来理解数的意义呢？于是我结合教材意图，在《小数的性质》一课中设计探究任务：
0.3和0.30大小一样吗？意思一样吗？你可以用自己的方式或者选屏幕上的一种材料证明你的想法。
虽然米尺最直观，但是不加点拨学生不知如何使用。0.3米=3分米，一把尺子把1米平均分成10份，取了3份，是3分米，也是0.3米。0.30米=30厘米，一把尺子把1米平均分成100份，取了30份，是30厘米，也是0.30米。
从图中发现0.3米和0.30米表示的长度相等，但是尺子的平均分的份数不同。在这里借分数的初步认识理解小数的意义，确实很难，于是借计量单位的十进关系和小数的意义，一起帮助学生理解：两个小数表示的长度相等，只是意思不同。
这过程中，选择正方形图的学生挺多，涂色部分大小相等，好像显而易见，没有必要再去折一折，再重合。但是要保证原来的两个大正方形一样大，这是很多同学没有仔细关注的。
小数的意义不仅理解位值意思，还要理解整体和部分的意义，显然后者较难。从正方形图中学生知道了0.3的图被平均分成10份，0.30的图被平均分成100份，表示的意思不同。这个很好地解释了计数单位不同。如果没有这样的发言，可能我就直接说：3个0.1，30个0.01，10个0.01是1个0.1……如此抽象又拗口的话来。
接下来，学生在计数器上画珠子，其实就是动手拨珠的过程。大家很喜欢这一方式，投影作品后还有学生说出：“虽然都是在十分位上拨3颗珠子，但是0.30要把百分位也写出来。”看来考虑了数位。最后的数位顺序表更加简洁，一眼看出，从百分位开始用0占位都表示没有，不改变数的大小。
后两种素材更多关注用0占数位，数的大小不变。前两种还能看出数表示的意思不同，不仅仅是计数单位不同，还有整体、部分、精确度不同等。
小插曲：最后归纳小数的性质文字表示后，让同学们把关键的字词重音读出，结果“小数”“末尾”“大小不变”“意义变”全是重音。看来不枉费一番探究，同学们的收获还是挺丰富的。
第二节：《小数的大小比较》
优化方法，自主解决认知冲突
《小数的大小比较》课前思考：学生会受整数大小比较的负迁移，认为位数多的小数就大，整节课的重点在于突破这个前认知，用直观素材展现小数大小的实质进行归纳比较方法。
人教版给的全是两位小数，介绍一步一步比较的方法，进程四平八稳，认知冲突不大，而且学生会负迁移整数的大小比较方法，看位数定大小；苏教版对比0.6和0.48元，提前设计认知冲突；北师大版比较0.8和0.69，用不同的方法展现比较过程：单位换算、正方形纸涂色、数轴、数位顺序表突破难点，也有两位小数的比较，北师大版素材最丰富，重难点最突出，设计在学生的最近发展区之内，让自己解决认知冲突。
人教版
苏教版
北师大版
对比这三种教材后，我借鉴了北师大版，进行了“比较0.8和0.69”的课堂实践。
学生探究后反馈，聚焦8和6的意思，以及为什么百分位的9不管了，来突破小数大小比较不能看位数多少，要一位一位往下比。
这次加长度的单位仍然不多，但是经过点拨，还是说得上来。0.8米=8分米。0.69米=6分米9厘米。8分米大于6分米，所以0.8米＞0.69米。这个9厘米不管了？9厘米不到1分米。
涂色比一比，8列大于6列，第7列9格不到一列。数轴用0.7帮忙（相当于找了个标准），一个0.7不到，一个超过0.7。
数位顺序表8个0.1比6个0.1大，要10个0.01是1个0.1，现在才9个不到……（这个说法只有学霸之间能懂）。
尽管上述四种素材能直观理解不同位数小数的比较方法，但反馈到后面，学生越来越说不上来，这就要反思，学习材料太多，没有一种足够有概括性，对学生而言实用性越来越弱。
在作业后仍有学生不知：为何从高位比起？为何百分位的9不管？虽然我还是一厢情愿地画了正方形图，他也频频点头，但这仍然是个难点。
果不其然，单元复习中0.409和0.41有人比错，有人说不出为什么比到十分位就不比了，那就在计数器上表示这两个小数，说说其中的道理吧！这次又好了些。看珠子知道，满十进一，退一作十，前一个数位的1颗相当于后一数位的10颗珠子，高位比出后就不用往下比了。
这一课例实践后知道：难点一直都在，可以早点呈现，而且随着学习的深入，用不同的方式、用学生的方式去突破。但是教师在追求方法多样性的同时一定要进行方法的优化。优化的方法一定是最本质、最简洁、概括性最强的。小数的大小比较用计数器来理解0.8和0.69就比较合适，后面的学习可以一以贯之，让学生自己画图理解，这也是教给学习方法。
第三节：《小数加减法》
丰富学材，计算做到理清法明
《小数加减法》第一课时：
人教版例1给出两位小数的加减法，例2不同位数加减法，显然例1要说清对位的方法和道理，例2在理解对位方法的基础上，自主解决；
苏教版给出两种对位方法，讨论为什么要小数点对齐，而不是末尾对齐；
北师大版例1尽管也是两位小数的加减法，却花了很多篇幅用图文来验证算理。
同一课教材通过学习内容、学习材料的横向比较，我终于读懂了人教版教材隐晦的编写意图：例1虽然计算简单，但是借助多元表征，探究算理是少不了的，而且试教过程中发现：计算可以告知方法，然后进行训练，虽然错误会减少，但是其中的道理不研究，计算比较机械和被动，讲过程和方法时学生讲不出。并且计算的道理不在一开始就探究，到后面也没有探究的必要性。
人教版
苏教版
北师大版
于是课上我设计了人民币单位、正方形图、计数器让学生选，且保证每种材料有人选。
选择最多的是计数器，人民币单位和正方形图都比较少。计数器选完，更多的人会再选人民币单位。看来学生对数位有一定认识，知道相同数位的数相加，这表现在竖式中就是相同数位对齐，再计算。而前两种则是说明相同单位的数相加，聚焦“量”的实际意义。
虽然我们很清楚以下三者的逻辑关系：相同单位的数相加减，在数中就是相同数位的数相加减，在竖式中就是数位对齐，再计算。但是概括起来，对学生来说信息量实在很大，而且讲授偏多，实践应用不够。
那么就用练习题来感受一下。我把要求改成：用自己喜欢的方式计算，结果用小数表示。集体审题后讨论两种方法：1.先换算，再加减或者先把相同单位的数相加减，再化成小数；2.反馈时正好可以沟通联系：小数中相同数位的数相加，就是把相同单位的数相加。实践发现大多学生选前者，这刚好证明了学习小数加减法的简洁性和实用性。
教材是学生学和教师教的素材，通过教材的横向比较，能打开教学设计的思路，找到一节课的难点以及处理方式。对于数的认识，不妨化抽象为具象，多画图表示它的意思。
End
作者丨柴苗
来源丨喵喵叽里呱啦
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编辑丨陈薇
排版 | 小希
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