《数学的雨伞下：理解世界的乐趣》，[法]米卡埃尔·洛奈 著，欧瑜 译，人民邮电出版社2023年6月版。
如何才能把直觉性的思考纳入数学的范畴？
日常生活总在低声告诉我们，我们在数字方面不大行……有什么东西不大对劲。
关于这一点，我想跟你讲一件趣事。几年前的一天晚上，我跟朋友们在一起玩游戏，一位朋友提议玩一个科学知识问答的游戏。我们分成两个小组，两组人马必须回答一系列关于数学、地质学，还有生物学或计算机科学的问题。两个小组必须对每个问题给出一个答案，最接近正确答案的小组得一分。游戏规则看起来既简单又明确。然而，经过几轮之后，一个天文学问题引发了意想不到的争议。
这个问题是地球和月球之间的距离。
我们这组没人知道确切的答案，但经过商讨之后，我们给出的答案是80万千米。另一组的讨论似乎更加激烈，但过了一会儿，他们也给出了答案：10千米！显然，他们对天文学的了解比我们还要少。世界最高峰珠穆朗玛峰的高度接近9千米。如果月球距离地球只有10千米的话，那么爬上珠穆朗玛峰就差不多可以够得到我们的卫星了。这个答案很荒谬。我们这组似乎已经胜券在握。
但是，对照正确答案的结果却让人感到困惑不已。月球和地球之间的距离实际上是384000千米。因此，只需做个简单的减法就可以知道，我们的答案和正确答案差了416000千米，而另一组的答案则只差了383990千米。
《数学的雨伞下：理解世界的乐趣》内文插图。
我眨了眨眼睛，在脑中又算了一次。没错。我甚至还在一张餐巾纸上演算了一下，好让自己相信这个结果。
毫无疑问：他们的答案比我们的答案更接近现实。他们赢了。在几分钟里，我忍不住在脑中算了又算，但无话可说。数学已经一锤定音。
但是，你不觉得这种情况有些不公平吗？说我是个糟糕的玩家也就罢了，尽管减法已经给出了最后的判定，但是你不觉得我们的答案更合理、更审慎，而且以某种方式来说，没有另一队错得那么离谱吗？
但在这个情况中，为什么数学似乎告诉我们的是相反的答案呢？
为什么计算会斩钉截铁地偏向那个显然更离谱的答案呢？
或者，我们换种方式提问，更谦逊一点：我们是否真的了解自己正在使用的数学呢？数学不会犯错，但人类有时会以不恰当的方式去使用它。如果我们花点儿心思再深入探究一下，可能就会想到很多类似的情况。猫的平均身高是25厘米，拉布拉多犬的平均身高是60厘米。一些细菌的高度是千分之一毫米。因此，我们可能会说，就高度而言，与拉布拉多犬相比，猫更接近细菌。猫和细菌的高度差了大约25厘米，但猫和狗的高度差了大约35厘米。
《数学的雨伞下：理解世界的乐趣》内文插图。
但同样地，这个结果与我们对现实的固有感知背道而驰。猫和狗同属一个世界。它们可以一起玩耍，至少能互动。它们相互看得到，相互感觉得到，相互知道彼此的存在。相反，如果猫没有学过科学知识，它就根本不会知道细菌的存在。细菌不是它们的世界的一分子，这些细菌如此之小，以至于对于猫来说既是不可见的，也是不可想象的。
通过类似的推理，我们可以给出大量的例子，所有这些例子都有违直觉，但在数学上却是确切无误的。太阳表面的温度比起15000℃要更接近5℃。比起纽约人口，巴黎人口要更接近一个仅有12个居民的村庄。如果给火星称重，你会发现比起地球的质量，火星的质量要更接近一个乒乓球的质量。
就像本福特定律，如果这些情况与我们的理解相冲突，那是因为我们想歪了。因为我们在并不适用的情境中使用了自己并不那么了解的数学工具。
《维度：数学漫步》（2008）剧照。
那么，如何才能把这些直觉性的思考纳入数学的范畴呢？答案就在数量级这个微妙的概念之中。基本的思路很简单，但功能非常强大。按数量级去思考，就是采取乘法思维，而不是加法思维。
如果想要比较数字2和10，你可以使用两种不同的方法。加法：2加几才能得到10？答案会是8。乘法：2乘以几才能得到10？答案会是5。与2相加得到10的数可以通过减法得到：10-2=8。与2相乘得到10的数可以通过除法得到：10÷2=5。说两个量是同一数量级，就是说它们从乘法的角度来看是接近的。
尽管这种思路乍看起来有些牵强，但任何开始以乘法思维去思考的人都会很快意识到，这种方法在很多常见的情况中都更符合我们的直觉。让我们回到之前的那个科学问答题上。如果当时想清楚了的话，我会这样去质疑另一组的得分。月球距离地球384000千米，我们这组的答案是800000千米，大了大约1倍。如果做除法，你会发现我们的答案比正确答案大了1.08倍。我们对手回答的是10千米，也就是说，只有正确答案的1/38400！从这个角度来看，应该是我们这组胜出，而且远远领先。这个结果更加符合我们对这个问题的本能感知。
《数学的雨伞下：理解世界的乐趣》内文插图。
之前的所有例子都一样。做乘法，猫的大小比起细菌来与狗的大小更加接近，火星的质量比起乒乓球来与地球的质量更加接近，巴黎的人口比起村庄来与纽约的人口更加接近，依此类推。
比较两个数时，我们会本能地以乘法思维去思考
在我们比较两个数时，无论比较的背景为何，大多数时候，我们会本能地以乘法思维去思考。如果在你常去的超市里，一件价格为200欧元的产品涨了8欧元，这或许会让你感到有些不快，但如果是2欧元的产品涨了8欧元，你就会感到大为不快了。因为在后一种情况中，价格变成了10欧元，相当于原来的5倍！这就不止是让人感到不快了，而是让人觉得上当受骗。但是，二者的增量却是一样的。
《数学的雨伞下：理解世界的乐趣》内文插图。
这种比较方式不只是智力上的。它并非思维所独有的，它还占据了我们的身体，并与我们和这个世界可能形成的大多数互动相一致。我们用来感知身边环境的感官似乎也受到乘法思维的支配。
如果我蒙上你的眼睛，然后在你的一只手里放一个重10克的物体，在你的另一只手里放一个重20克的物体，你马上就能说出哪个物体更重。但如果是两个分别重10千克和10千克零10克的物体，你就会很难说出哪个更重。然而，这两组物体的重量之差却是一样的：10克。或更确切地说，需要加上的差值是一样的。但从乘法的角度来看，重量的变化一目了然：第一种情况从10克到20克，相当于从单倍变成了双倍；但在第二种情况下，两个物体的重量只差了0.1%。
电影《人脑计算机》（2020年）剧照。
我们的视觉也一样。你是否曾试过在大白天开灯？如果太阳光已经洒满房间，那么开灯几乎不会造成任何的改变。无论有没有开灯，房间内的亮度看起来都分毫未差。相反，如果你在晚上打开同一盏灯，这一次，灯光会穿透黑暗，而且看起来洒满了整个房间。这灯光让我们清楚地看到了片刻之前在昏暗之中无法看到的东西。
但是，天花板上的灯在白天发出的光并不比晚上少。无论是白天还是夜晚，这盏灯都发出同样多的光。也就是说，从加法的角度来说，两种情况下的亮度之差是一样的。但这不是我们双眼所感知到的“加法的差距”。我们看到的是相对之差，也就是“乘法的差距”。在白天，灯光的亮度与太阳光的亮度相比微乎其微。在夜晚，掌控一切的是占据优势的灯光。
回过头来想想你所有的感觉：触觉、视觉、味觉、听觉、嗅觉。甚至还可以想想你对逝去的时间、通过的距离的感知，并以更为主观的方式想想你情绪的强烈程度。一旦开始以乘法而非加法的思维去思考这些事物，你就会更好地适应所有这些朝你扑面而来的感知了。
本文节选自《数学的雨伞下：理解世界的乐趣》，小标题为摘编者所加，非原文所有。已获得出版社授权刊发。
原文作者/[法]米卡埃尔·洛奈
摘编/何也
编辑/张进
导语校对/赵琳